Sabtu, 23 Juni 2012

OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR


A.      OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1.         Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Contoh :
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut
a.       -4a + 7ax
b.      (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x +1)
c.       Text Box: Penyelesaian
a. -4a + 7ax = (-4 + 7) = (-4 + 7) ax
= 3ax
b. (2x2 – 3x + 2) + (4x – 5x + 1)
c. 

(3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)






Text Box: = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1
= 2x2 + 4x – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4)x2 + (-3 -5)x + (2 + 1) (kelompokkan suku-suku jenis 
= 6x2 – 8x + 3
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2
 = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2
 = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2)
 = -a2 + 3a + 3
 

A.      OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
1.         Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.
Contoh :
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut
a.       -4a + 7ax
b.      (2x2 – 3x + 2) + (4x2 – 5x +1)
c.       Text Box: Penyelesaian
a. -4a + 7ax = (-4 + 7) = (-4 + 7) ax
= 3ax
b. (2x2 – 3x + 2) + (4x – 5x + 1)
c. 

(3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)






Text Box: = 2x2 – 3x + 2 + 4x2 – 5x + 1
= 2x2 + 4x – 3x – 5x + 2 + 1
= (2 + 4)x2 + (-3 -5)x + (2 + 1) (kelompokkan suku-suku jenis 
= 6x2 – 8x + 3
c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2) = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2
 = 3a2 – 4a2 + 3a + 5 – 2
 = (3 – 4)a2 + 3a + (5 – 2)
 = -a2 + 3a + 3
 










2.         Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu  a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a  x (bc) = (a x b) – (a x c), untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
a.      Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Text Box: k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + ab

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.


Contoh :
Text Box: Penyelesaian
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
= (3 + 42)x – 6 + 6
= 45x
d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y¬ 24z
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.
a.       4(p + q)
b.      5(ax + by
c.       3(x – 2) + 6(7x + 1)
d.      -8(2xy + 3z)
b.        Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
Perhatikan dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.
Text Box:   = ax x cx + ax x d + cx x d
  = acx +(ad + bc)x + bd
Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.
 




Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalihkan  bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.
(ax + b) (cx + d)     = ax (cd + d) + b (cx + d)
                               = ax x cx + ax x d + b + b  x d
                               = acx2 + adx + bcx + bd
                               = acx2 + (ad + bc)x + bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua suku tiga berlaku sebagai berikut.

 
= a2 + 2ab + b2          kefisiennya 1     2    1
(a + b)3   = (a + b) (a + b)2
              = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
              = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
              = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3          koefisiennya 1    3    3    1 dan seterusnya

Adapun pengkat dari  a  (unsur pertama)  pada (a + b)n dimulai  Dari an  kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir  a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir  bn  pada suku ke-(n + 1).
            Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran  bentuk aljabar
(a +b)n  di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga pascal berikut.
(a + b)0                                                                                1
(a + b)1                                                                            1     1
(a + b)2                                                                  1         2         1
(a + b)3                                                         1          3          3         1
(a + b)4                                                1          4          6          4          1
(a + b)5                                        1         5          10        10          5         1    
(a + b)6                          1         6        15       20        15        6        1

            Pada segitiga pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berasa diatasnya,
Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a.       3x + 5)2
b.      (2x – 3y)2
c.       (x + 3y)3
d.      (a – 4)4
       Penyelesaian :
a.       (3x + 5)2        = 1(3x) + 2 x 3x  × 5 + 1 × 52
                     = 9x2 + 30x + 25
b.      (2x – 3y)2      = 1 (2x)2 + 2 (2x) (-3y)2
                     = 4x2 – 12xy + 9y2
c.       (x + 3y)3
= 1x3 + 3 × x2 × (3y)1 + 3 ×  × (3y)2 + 1 × (3y)3
= x3 + 9x2y + 27y3
d.      (a – 4)4
= 1 a4 + 4 x a3 × (-4)1 + 6 x a2 × (-4)2 + 4 x a × (-4)3 + 1 × (-4)4
= a4 – 16 × a3 + 6a2  × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256
= a4 – 16 a3 + 96a2 – 256a + 256

4.    Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian proleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.
1.         3xy : 2y
2.         6a3b2 : 3a2b
3.         x3y : (x2y2 : xy)
4.         (24p2q + 18pq2) : 3pq
      Penyelesaian :
1.           =  ×  (faktor sekutu y)
2.         6a3b2 : 3a2b   = 
                     =  (faktor  selutu 3a2b)
                     = 2ab
3.         x3y : (x2y2 : xy)        = x3 y :
                         = x3 y :
                         = x3y : xy =  =  = x
4.         (24p2 + 18pq2) : 3pq   =
                             =
                             = 2 (4p + 3q)

1.        Substitusi pada bentuk aljabar    
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
1.      Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
2.      Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2xy + 3y2    



Penyelesaian :
Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m      = 5 – 2(3)
                 = 5 – 6  
                 = –1  
Penyelesaian :
Substitusi x        = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2x2xy + 3y2    = 2(-4)2 – (-4) (3) + 3 (3)2
                          = 2(16) – (-12) + 3(9)
                          = 32 + 12 + 27
                          = 71  

2.         Menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar
coba kalian ingat kembali cara mentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut.
a.       12pq dan 8pq2
b.      45x5y2 dan 50x4y3



Penyelesaian :
a.       12pq     = 22 × 3 × p × q
8pq2      = 23 × p × q2
KPK     = 23 × 3 × p × q2
             = 24pq2
FPB      = 22 × p × q
             =4pq
b.      45x5y2   = 32 × 5 × x5 × x2
50x4y3   = 2 × 5x5 × y2
KPK     = 2 × 32 × x5 × y3
             = 450x5y3
FPB      = 5 × x4 × y2
             = 5x4y2

C.      PECAHAN BENTUK ALJABAR
Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan  bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.
Misalnya   dan 1
1.      Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar
Suatu pecahan untuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor  persekutuan kecuali 1, da penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan  dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut jika x, y 0.
a.      
b.     
    Penyelesaian  :
a.         FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga
  =
                 =
       Jadi, bentuk sederhana dari adalah
b.      FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga
 =
=

2.      Operasi hitung pecahan aljabar dengan penyebut suku tunggal
a.      Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalan juga masih ingat  bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.









2.         Perkalian
Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu  a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a  x (bc) = (a x b) – (a x c), untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.
a.      Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar
Text Box: k(ax) = kax
k(ax + b) = kax + ab

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.


Contoh :
Text Box: Penyelesaian
a. 4(p + q) = 4p + 4q
b. 5(ax + by) = 5ax + 5by
c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6
= (3 + 42)x – 6 + 6
= 45x
d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y¬ 24z
Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.
a.       4(p + q)
b.      5(ax + by
c.       3(x – 2) + 6(7x + 1)
d.      -8(2xy + 3z)
b.        Perkalian antara dua bentuk aljabar
Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.
Perhatikan dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.
Text Box:   = ax x cx + ax x d + cx x d
  = acx +(ad + bc)x + bd
Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.
 




Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalihkan  bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.
(ax + b) (cx + d)     = ax (cd + d) + b (cx + d)
                               = ax x cx + ax x d + b + b  x d
                               = acx2 + adx + bcx + bd
                               = acx2 + (ad + bc)x + bd
Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua suku tiga berlaku sebagai berikut.

 
= a2 + 2ab + b2          kefisiennya 1     2    1
(a + b)3   = (a + b) (a + b)2
              = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
              = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
              = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3          koefisiennya 1    3    3    1 dan seterusnya

Adapun pengkat dari  a  (unsur pertama)  pada (a + b)n dimulai  Dari an  kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir  a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b1 pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir  bn  pada suku ke-(n + 1).
            Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran  bentuk aljabar
(a +b)n  di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga pascal berikut.
(a + b)0                                                                                1
(a + b)1                                                                            1     1
(a + b)2                                                                  1         2         1
(a + b)3                                                         1          3          3         1
(a + b)4                                                1          4          6          4          1
(a + b)5                                        1         5          10        10          5         1    
(a + b)6                          1         6        15       20        15        6        1

            Pada segitiga pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berasa diatasnya,
Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a.       3x + 5)2
b.      (2x – 3y)2
c.       (x + 3y)3
d.      (a – 4)4
       Penyelesaian :
a.       (3x + 5)2        = 1(3x) + 2 x 3x  × 5 + 1 × 52
                     = 9x2 + 30x + 25
b.      (2x – 3y)2      = 1 (2x)2 + 2 (2x) (-3y)2
                     = 4x2 – 12xy + 9y2
c.       (x + 3y)3
= 1x3 + 3 × x2 × (3y)1 + 3 ×  × (3y)2 + 1 × (3y)3
= x3 + 9x2y + 27y3
d.      (a – 4)4
= 1 a4 + 4 x a3 × (-4)1 + 6 x a2 × (-4)2 + 4 x a × (-4)3 + 1 × (-4)4
= a4 – 16 × a3 + 6a2  × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256
= a4 – 16 a3 + 96a2 – 256a + 256

4.    Pembagian
Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian proleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.
Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.
1.         3xy : 2y
2.         6a3b2 : 3a2b
3.         x3y : (x2y2 : xy)
4.         (24p2q + 18pq2) : 3pq
      Penyelesaian :
1.           =  ×  (faktor sekutu y)
2.         6a3b2 : 3a2b   = 
                     =  (faktor  selutu 3a2b)
                     = 2ab
3.         x3y : (x2y2 : xy)        = x3 y :
                         = x3 y :
                         = x3y : xy =  =  = x
4.         (24p2 + 18pq2) : 3pq   =
                             =
                             = 2 (4p + 3q)

1.        Substitusi pada bentuk aljabar    
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.
1.      Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.
2.      Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x2xy + 3y2    



Penyelesaian :
Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh
5 – 2m      = 5 – 2(3)
                 = 5 – 6  
                 = –1  
Penyelesaian :
Substitusi x        = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh
2x2xy + 3y2    = 2(-4)2 – (-4) (3) + 3 (3)2
                          = 2(16) – (-12) + 3(9)
                          = 32 + 12 + 27
                          = 71  

2.         Menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar
coba kalian ingat kembali cara mentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.
Perhatikan contoh berikut.
Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut.
a.       12pq dan 8pq2
b.      45x5y2 dan 50x4y3



Penyelesaian :
a.       12pq     = 22 × 3 × p × q
8pq2      = 23 × p × q2
KPK     = 23 × 3 × p × q2
             = 24pq2
FPB      = 22 × p × q
             =4pq
b.      45x5y2   = 32 × 5 × x5 × x2
50x4y3   = 2 × 5x5 × y2
KPK     = 2 × 32 × x5 × y3
             = 450x5y3
FPB      = 5 × x4 × y2
             = 5x4y2

C.      PECAHAN BENTUK ALJABAR
Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan  bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.
Misalnya   dan 1
1.      Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar
Suatu pecahan untuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor  persekutuan kecuali 1, da penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan  dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut jika x, y 0.
a.      
b.     
    Penyelesaian  :
a.         FPB dari 3x dan 6x2y adalah 3x, sehingga
  =
                 =
       Jadi, bentuk sederhana dari adalah
b.      FPB dari 4x2yz3 dan 2xy2 adalah 2xy, sehingga
 =
=

2.      Operasi hitung pecahan aljabar dengan penyebut suku tunggal
a.      Penjumlahan dan pengurangan
Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalan juga masih ingat  bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.