OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

A.      OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1.         Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut

a.       -4a + 7ax

b.      (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x +1)

c.       (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

 

A.      OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1.         Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut

a.       -4a + 7ax

b.      (2x² – 3x + 2) + (4x² – 5x +1)

c.       (3a² + 5) – (4a² – 3a + 2)

 

2.         Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu  a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a  x (b – c) = (a x b) – (a x c), untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

a.      Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

Contoh :

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

a.       4(p + q)

b.      5(ax + by

c.       3(x – 2) + 6(7x + 1)

d.      -8(2x – y + 3z)

b.        Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Perhatikan dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

 

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalihkan  bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax + b) (cx + d)     = ax (cd + d) + b (cx + d)

                               = ax x cx + ax x d + b + b  x d

                               = acx² + adx + bcx + bd

                               = acx² + (ad + bc)x + bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua suku tiga berlaku sebagai berikut.

 

= a² + 2ab + b²          kefisiennya 1     2    1

(a + b)³   = (a + b) (a + b)²

              = (a + b) (a² + 2ab + b²)

              = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

              = a³ + 3a²b + 3ab² + b³          koefisiennya 1    3    3    1 dan seterusnya

Adapun pengkat dari  a  (unsur pertama)  pada (a + b)ⁿ dimulai  Dari aⁿ  kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir  a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b¹ pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir  bⁿ  pada suku ke-(n + 1).

            Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran  bentuk aljabar

(a +b)n  di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga pascal berikut.

(a + b)⁰                                                                                1

(a + b)¹                                                                            1     1

(a + b)²                                                                  1         2         1

(a + b)³                                                         1          3          3         1

(a + b)⁴                                                1          4          6          4          1

(a + b)⁵                                        1         5          10        10          5         1    

(a + b)⁶                          1         6        15       20        15        6        1

            Pada segitiga pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berasa diatasnya,

Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a.       3x + 5)²

b.      (2x – 3y)²

c.       (x + 3y)³

d.      (a – 4)⁴

       Penyelesaian :

a.       (3x + 5)²        = 1(3x) + 2 x 3x  × 5 + 1 × 5²

                     = 9x² + 30x + 25

b.      (2x – 3y)²      = 1 (2x)² + 2 (2x) (-3y)²

                     = 4x² – 12xy + 9y²

c.       (x + 3y)³

= 1x³ + 3 × x² × (3y)1 + 3 ×  x  × (3y)² + 1 × (3y)³

= x³ + 9x²y + 27y³

d.      (a – 4)⁴

= 1 a⁴ + 4 x a3 × (-4)¹ + 6 x a² × (-4)² + 4 x a × (-4)³ + 1 × (-4)⁴

= a⁴ – 16 × a³ + 6a²  × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256

= a⁴ – 16 a³ + 96a² – 256a + 256

4.    Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian proleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.

1.         3xy : 2y

2.         6a³b² : 3a²b

3.         x³y : (x²y² : xy)

4.         (24p²q + 18pq²) : 3pq

      Penyelesaian :

1.           =  ×  (faktor sekutu y)

2.         6a³b² : 3a²b   = 

                     =  (faktor  selutu 3a²b)

                     = 2ab

3.         x³y : (x²y² : xy)        = x³ y :

                         = x³ y :

                         = x³y : xy =  =  = x

4.         (24p² + 18pq²) : 3pq   =

                             =

                             = 2 (4p + 3q)

1.        Substitusi pada bentuk aljabar    

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

1.      Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.

2.      Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x² – xy + 3y²    

Penyelesaian :

Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh

5 – 2m      = 5 – 2(3)

                 = 5 – 6  

                 = –1  

Penyelesaian :

Substitusi x        = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh

2x² – xy + 3y²    = 2(-4)² – (-4) (3) + 3 (3)²

                          = 2(16) – (-12) + 3(9)

                          = 32 + 12 + 27

                          = 71  

2.         Menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar

coba kalian ingat kembali cara mentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut.

a.       12pq dan 8pq²

b.      45x⁵y² dan 50x⁴y³

Penyelesaian :

a.       12pq     = 2² × 3 × p × q

8pq²      = 2³ × p × q²

KPK     = 2³ × 3 × p × q²

             = 24pq²

FPB      = 2² × p × q

             =4pq

b.      45x⁵y²   = 3² × 5 × x⁵ × x²

50x⁴y³   = 2 × 5²  x⁵ × y²

KPK     = 2 × 3² × x⁵ × y³

             = 450x⁵y³

FPB      = 5 × x⁴ × y²

             = 5x⁴y²

C.      PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan  bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.

Misalnya   dan 1

1.      Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar

Suatu pecahan untuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor  persekutuan kecuali 1, da penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan  dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut jika x, y ≠ 0.

a.      

b.     

    Penyelesaian  :

a.         FPB dari 3x dan 6x²y adalah 3x, sehingga

  =

                 =

       Jadi, bentuk sederhana dari adalah

b.      FPB dari 4x²yz³ dan 2xy² adalah 2xy, sehingga

 =

=

2.      Operasi hitung pecahan aljabar dengan penyebut suku tunggal

a.      Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalan juga masih ingat  bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.

2.         Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu  a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a  x (b – c) = (a x b) – (a x c), untuk setiap bilangan bulat a,b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

a.      Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

Contoh :

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

a.       4(p + q)

b.      5(ax + by

c.       3(x – 2) + 6(7x + 1)

d.      -8(2x – y + 3z)

b.        Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Perhatikan dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut.

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

 

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalihkan  bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut.

(ax + b) (cx + d)     = ax (cd + d) + b (cx + d)

                               = ax x cx + ax x d + b + b  x d

                               = acx² + adx + bcx + bd

                               = acx² + (ad + bc)x + bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua suku tiga berlaku sebagai berikut.

 

= a² + 2ab + b²          kefisiennya 1     2    1

(a + b)³   = (a + b) (a + b)²

              = (a + b) (a² + 2ab + b²)

              = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

              = a³ + 3a²b + 3ab² + b³          koefisiennya 1    3    3    1 dan seterusnya

Adapun pengkat dari  a  (unsur pertama)  pada (a + b)ⁿ dimulai  Dari aⁿ  kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir  a1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b¹ pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir  bⁿ  pada suku ke-(n + 1).

            Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran  bentuk aljabar

(a +b)n  di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga pascal berikut.

(a + b)⁰                                                                                1

(a + b)¹                                                                            1     1

(a + b)²                                                                  1         2         1

(a + b)³                                                         1          3          3         1

(a + b)⁴                                                1          4          6          4          1

(a + b)⁵                                        1         5          10        10          5         1    

(a + b)⁶                          1         6        15       20        15        6        1

            Pada segitiga pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berasa diatasnya,

Jabarkan bentuk aljabar berikut.

a.       3x + 5)²

b.      (2x – 3y)²

c.       (x + 3y)³

d.      (a – 4)⁴

       Penyelesaian :

a.       (3x + 5)²        = 1(3x) + 2 x 3x  × 5 + 1 × 5²

                     = 9x² + 30x + 25

b.      (2x – 3y)²      = 1 (2x)² + 2 (2x) (-3y)²

                     = 4x² – 12xy + 9y²

c.       (x + 3y)³

= 1x³ + 3 × x² × (3y)1 + 3 ×  x  × (3y)² + 1 × (3y)³

= x³ + 9x²y + 27y³

d.      (a – 4)⁴

= 1 a⁴ + 4 x a3 × (-4)¹ + 6 x a² × (-4)² + 4 x a × (-4)³ + 1 × (-4)⁴

= a⁴ – 16 × a³ + 6a²  × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256

= a⁴ – 16 a³ + 96a² – 256a + 256

4.    Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian proleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut.

1.         3xy : 2y

2.         6a³b² : 3a²b

3.         x³y : (x²y² : xy)

4.         (24p²q + 18pq²) : 3pq

      Penyelesaian :

1.           =  ×  (faktor sekutu y)

2.         6a³b² : 3a²b   = 

                     =  (faktor  selutu 3a²b)

                     = 2ab

3.         x³y : (x²y² : xy)        = x³ y :

                         = x³ y :

                         = x³y : xy =  =  = x

4.         (24p² + 18pq²) : 3pq   =

                             =

                             = 2 (4p + 3q)

1.        Substitusi pada bentuk aljabar    

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan caramenyubstitusikan sembarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

1.      Jika m = 3, tentukan nilai dari 5 – 2m.

2.      Jika x = –4 dan y = 3, tentukan nilai dari 2x² – xy + 3y²    

Penyelesaian :

Substitusi nilai m = 3 pada 5 – 2m, maka diperoleh

5 – 2m      = 5 – 2(3)

                 = 5 – 6  

                 = –1  

Penyelesaian :

Substitusi x        = –4 dan y = 3, sehingga diperoleh

2x² – xy + 3y²    = 2(-4)² – (-4) (3) + 3 (3)²

                          = 2(16) – (-12) + 3(9)

                          = 32 + 12 + 27

                          = 71  

2.         Menentukan KPK dan FPB bentuk aljabar

coba kalian ingat kembali cara mentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

Perhatikan contoh berikut.

Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar berikut.

a.       12pq dan 8pq²

b.      45x⁵y² dan 50x⁴y³

Penyelesaian :

a.       12pq     = 2² × 3 × p × q

8pq²      = 2³ × p × q²

KPK     = 2³ × 3 × p × q²

             = 24pq²

FPB      = 2² × p × q

             =4pq

b.      45x⁵y²   = 3² × 5 × x⁵ × x²

50x⁴y³   = 2 × 5²  x⁵ × y²

KPK     = 2 × 3² × x⁵ × y³

             = 450x⁵y³

FPB      = 5 × x⁴ × y²

             = 5x⁴y²

C.      PECAHAN BENTUK ALJABAR

Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan  bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar.

Misalnya   dan 1

1.      Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar

Suatu pecahan untuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor  persekutuan kecuali 1, da penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan  dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut jika x, y ≠ 0.

a.      

b.     

    Penyelesaian  :

a.         FPB dari 3x dan 6x²y adalah 3x, sehingga

  =

                 =

       Jadi, bentuk sederhana dari adalah

b.      FPB dari 4x²yz³ dan 2xy² adalah 2xy, sehingga

 =

=

2.      Operasi hitung pecahan aljabar dengan penyebut suku tunggal

a.      Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalan juga masih ingat  bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya.